Магический квадрат (камея)

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия» с магическим квадратом 4×4, два нижних числа складываются в год создания гравюры (1514).

Магический квадрат, камея — квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Применяются в планетарной и некоторых других разделах магии для создания талисманов, изображения сигил и в других целях.

Магические квадраты планет строятся на основе того числа, которому соответствует данная планета. Количество секций в любой строке, столбце или диагонали квадрата равняется символическому числу данной планеты. Сумма всех чисел в каждом ряду и общая сумма всех чисел магического квадрата также связаны с этим символическим числом: они должны делиться на него без остатка. В квадрате планеты числа всегда начинаются с 1, ни одно число не может быть пропущено при заполнении таблицы, таким образом, магический квадрат числа n содержит числа от 1 до n в квадрате.

Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин

Магический квадрат Сатурна с верифицирующей фигурой

Уоллис Бадж полагает, что слово «камея» происходит от того же корня, что и английское «cameo» (англ.) — «миниатюрный, маломасштабный».

"Печать Сатурна" (Sigillum Saturni) - истиный магический квадрат числа 3 был известен ещё в Древнем Китае под названием Ло Шу (кит. трад. 洛書, упр. 洛书, пиньинь luò shū), первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до н. э. В XIII в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения.

Самым ранним в европейском искусстве считается магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I». Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514). Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17. Данный квадрат является "Печатью Юпитера" (Sigillum Iouis).

Часто можно построить несколько магических квадратов для одной планеты, то есть магических квадратов определенного числа, чем число больше, тем больше таких магических квадратов можно найти. С точки зрения математики все они являются магическими квадратами данного числа, однако в магии используются только те, которые проверяются печатью (или фигурой) планеты — это симметричная фигура, линии которой последовательно проходят через все числа соответствующего магического квадрата. Такую печать также называют верифицирующей фигурой квадрата. Таким образом, печать представляет собой некий обобщенный символ, или синтез камеи. Печать состоит из отрезков, длина которых соответствует числу данной планеты. Так, отрезки в печати Сатурна (число 3) будут соединять в его квадрате последовательно числа 1-2-3, 4-5-6, 7-8-9. Если фигура, образованная этими линиями, симметрична, мы имеем дело с истинным магическим квадратом планеты, на основе которого можно строить сигилы и иным образом использовать его в планетарной магии.

Сама печать планеты или планетарная фигура также используется в планетарной магии, как обозначение соответствующей силы в амулетах и иных случаях.

История применения магических квадратов и разновидности.

Магические квадраты применялись с древности. Где и когда они появились впервые, в точности неизвестно. Самое раннее упоминание магических квадратов найдено в китайском источнике Ао Шуу рукописном свитке "И цзин" времен династии Чжоу (951-1126). Согласно Ао Шу, магический квадрат, изображав- ший единство всех вещей, был явлен императору Ю около 2200г. до н. э., когда он наблюдал за божественной черепахой с узором на панцире, выползавшей из реки Ло.

Магический квадрат для полетов и путешествий

Магические квадраты для полетов и путешествий: а) в черном облаке; 6) в белом облаке; в) в обличье орла; г) в обличье грифа. The book of the sacred magic of Abra-Mehn the Mage (в переводе С. Л. Макгрегора Мазерса), 1976. (Из коллекции автора.)

Магические квадраты применялись в Индии и других странах Востока; их чертят на амулетах. Магические квадраты распространились в западном оккультизме примерно в XIV в.

Существует ряд разновидностей магического квадрата.

*Квадраты, состоящие из букв. Простейший магический квадрат состоит из рядов букв, образующих по вертикали или горизонтали слова или имена силы. Некоторые квадраты заполнены буквами целиком, в то время как в других наряду с буквами имеются пустоты. Квадраты чертят на магических инструментах, талисманах или бумаге. Один из известнейших буквенных квадратов — SATOR, применявшийся в Древнем Риме для защиты. Магические квадраты могли встречаться также на священных сосудах. Они были распространены во времена раннего христианства.

Книга Абремелина, мага, провозглашенная божественной мудростью, данной Богом Моисею и врученной через патриархов, содержит много буквенных магических квадратов. Среди них есть квадраты, с помощью которых можно познать будущее, найти сокровища, приобрести магические способности, оживить мертвецов, вызвать духов мертвых, научиться ходить по воде и действовать под водой, управлять духами и вызывать видения.

Один из квадратов книги считается алхимическим по природе, так как он предназначен для немедленного обнаружения всего золота и серебра, которые можно только пожелать, для насущных потребностей и «жизни среди изобилия».

*Квадраты, составленные из чисел. Квадраты, составленные рядами последовательных чисел, математически сложны. Числа размещаются в ячейках квадрата в соответствии с различными формулами: к примеру, последовательность начинается цифрой 1 в определенной ячейке, продолжается в другом ряду, в ячейке с цифрой 2, и т. д. В готовом квадрате сумма любого ряда — вертикального, горизонтального или диагонального — равна одному и тому же числу.

Квадраты различаются своим «порядком», т. е. количеством ячеек в ряду. Сеть из трех ячеек, с общим числом ячеек 9, — это магический квадрат 3-го порядка. Чем выше порядок, тем большее количество перестановок можно в нем произвести.

Перестановка — это создание другого квадрата путем инверсии, отражения или переворачивания первоначального квадрата. Не существует квадратов 2-го порядка, лишь один квадрат 3-го порядка, однако есть 880 квадратов 4-го порядка с числом возможных перестановок 7040. Квадратов 5-го порядка насчитывается 275, 305, 224.

Строение квадрата зависит от его 1 класса: • нечетные квадраты, имеющие порядок, представляющий собой нечетное число; • двойные четные квадраты, образующие 4 квадрата четного порядка, будучи разделены крестом на 4 равные части; • одинарные четные квадраты, образующие 4 квадрата нечетного порядка при разделении крестом на 4 равные части.

Кроме того, существуют пандиагональные квадраты, в которых ломаные диагонали являются суммой порядка квадрата.

Генрих Корнелий Агриппа составил указания по построению магических квадратов планет. У Сатурна самый низкий порядок — 3, а у Луны — самый высокий, 9. Среди квадратов Агриппы нет пандиагональных.

Магические квадраты используют в ритуалах для вызова сил и духов, связанных с определенными планетами. Кроме того, магические квадраты планет применяют при создании печатей планет путем соединения чисел в линии и окружности согласно математическим формулам внутри магических квадратов могут находиться магические круги, образуемые организацией чисел в лучи, расходящиеся от центральной точки, и магические звезды, образуемые равенством сумм чисел на переплетениях или лучах.

Планетарные сигилы создаются начертанием названия планеты числами, соответствующими буквам ее названия на иврите.

Магические квадраты составляются также непоследовательными и примерными числами. В дважды магических квадратах силой наделены как числа, так и квадраты чисел. А в трижды магических квадратах волшебной силой обладают числа, квадраты и кувы. К тому же магический куб составлен слоями магических квадратов таким образом, что все столбцы и диагонали образуют при сложении одну и ту же сумму.

Дополнительная литература Лгриппа Неттесгеймский. Оккультная фило- софия. М., 1993. Mathers S. L MacGregor. The book of the sacred magic of Abra-Mehn the Mage. Wellingborough, England, 1976.